微积分学示例

$y = 1 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = - 9 x^{2} + 1$ 时， $V = π \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 ${(- 9 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ 。

$V = (- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 1) + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 9 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1$

解题步骤 2.3.2

从 $- 9 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$V = 81 x^{4} - 18 x^{2} + 1$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} 81 x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

解题步骤 4

由于 $81$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $81$ 移到积分外。

$V = π (81 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 18$ 移到积分外。

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

解题步骤 11

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $0.\overline{3}$ 处和在 $- 0.\overline{3}$ 处的值。

$V = π (81 ((\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5}) - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $0.\overline{3}$ 处和在 $- 0.\overline{3}$ 处的值。

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

解题步骤 11.3

计算 $x$ 在 $0.\overline{3}$ 处和在 $- 0.\overline{3}$ 处的值。

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

对 $0.\overline{3}$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.2

对 $- 0.\overline{3}$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{- 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.3

将负号移到分数的前面。

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + 1 (\frac{0.00411522}{5})) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.5

将 $\frac{0.00411522}{5}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.6

在公分母上合并分子。

$V = π (81 (\frac{0.00411522 + 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.7

将 $0.00411522$ 和 $0.00411522$ 相加。

$V = π (81 (\frac{0.00823045}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.8

组合 $81$ 和 $\frac{0.00823045}{5}$ 。

$V = π (\frac{81 \cdot 0.00823045}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.9

将 $81$ 乘以 $0.00823045$ 。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.10

对 $0.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.11

对 $- 0.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{- 0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.12

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + 1 (\frac{0.03703703}{3})) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.14

将 $\frac{0.03703703}{3}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.15

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 \frac{0.03703703 + 0.03703703}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.16

将 $0.03703703$ 和 $0.03703703$ 相加。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.07407407}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.17

组合 $- 18$ 和 $\frac{0.07407407}{3}$ 。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 18 \cdot 0.07407407}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.18

将 $- 18$ 乘以 $0.07407407$ 。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.19

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.20

要将 $\frac{0.66666666}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.21

要将 $- \frac{1.33333333}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.22

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.22.1

将 $\frac{0.66666666}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.22.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.22.3

将 $\frac{1.33333333}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.22.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.23

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.24

将 $0.66666666$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{2 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.25

将 $- 1.33333333$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{2 - 6.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.26

从 $2$ 中减去 $6.66666666$ 。

$V = π (\frac{- 4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.27

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

解题步骤 11.4.28

将 $0.\overline{3}$ 和 $0.\overline{3}$ 相加。

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6})$

解题步骤 11.4.29

要将 $0.\overline{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6} \cdot \frac{15}{15})$

解题步骤 11.4.30

组合 $0.\overline{6}$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + \frac{0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

解题步骤 11.4.31

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

解题步骤 11.4.32

将 $0.\overline{6}$ 乘以 $15$ 。

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 10}{15})$

解题步骤 11.4.33

将 $- 4.66666666$ 和 $10$ 相加。

$V = π (\frac{5.33333333}{15})$

解题步骤 11.4.34

组合 $π$ 和 $\frac{5.33333333}{15}$ 。

$V = \frac{π \cdot 5.33333333}{15}$

解题步骤 11.4.35

将 $π$ 乘以 $5.33333333$ 。

$V = \frac{16.75516081}{15}$

解题步骤 12

用 $16.75516081$ 除以 $15$ 。

$V = 1.11701072$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例