微积分学示例

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{3 π}{4}$ 和 $y = - 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

计算在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的导数。

$\sec^{2} (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

${(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2}$

解题步骤 1.3.2

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

${(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

${(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2}$

解题步骤 1.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.6.4.1

约去公因数。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.6.4.2

重写表达式。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

解题步骤 1.3.4.6.5

计算指数。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1

约去公因数。

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.3.5.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

${(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 1.3.6.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 1.3.6.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 1.3.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 1.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.7.4.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.3.7.4.2

重写表达式。

$2^{1}$

解题步骤 1.3.7.5

计算指数。

$2$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (\frac{3 π}{4}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 1 = 2 x + 2 (- \frac{3 π}{4})$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- \frac{3 π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{4}$

解题步骤 2.3.1.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 (2)}$

解题步骤 2.3.1.4.3

约去公因数。

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.4.4

重写表达式。

$y + 1 = 2 x + \frac{- 3 π}{2}$

解题步骤 2.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$y + 1 = 2 x - \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.5

从 $- 3 π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 1 (2)}{2}$

解题步骤 2.3.3.7

从 $- (3 π) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 x + \frac{- (3 π + 2)}{2}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $- (3 π + 2)$ 重写为 $- 1 (3 π + 2)$ 。

$y = 2 x + \frac{- 1 (3 π + 2)}{2}$

解题步骤 2.3.3.9

将负号移到分数的前面。

$y = 2 x - \frac{3 π + 2}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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