微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ; $[1, 8]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 8]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.3.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.5

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $16$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.6

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.7

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.7.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.7.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.7.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 7.2.8

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

解题步骤 7.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

解题步骤 7.2.10

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

解题步骤 7.2.11

组合 $12$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

解题步骤 7.2.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

解题步骤 7.2.13

化简分子。

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解题步骤 7.2.13.1

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

解题步骤 7.2.13.2

从 $48$ 中减去 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

解题步骤 8

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

解题步骤 9

乘以 $\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ 。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{45}{4}$ 。

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

解题步骤 9.2

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{45}{28}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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