微积分学示例

$| 2 x - 1 |$

解题步骤 1

将 $| 2 x - 1 |$ 书写为一个函数。

$f (x) = | 2 x - 1 |$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int | 2 x - 1 | d x$

解题步骤 4

将绝对值中的自变量设为等于 $0$ ，以求潜在的用以分割解的区间的数值。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

在解周围创建区间，从而求 $2 x - 1$ 为正和负的位置。

$(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \infty)$

解题步骤 7

将每个区间中的一个值代入 $2 x - 1$ 以得出表达式何处为正，何处为负。

$\begin{array}{c} 区间 & 区间上的符号 \\ (- \infty, \frac{1}{2}) & - \\ (\frac{1}{2}, \infty) & + \end{array}$

解题步骤 8

求绝对值函数自变量的积分。

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解题步骤 8.1

用带绝对值的自变量建立积分。

$\int 2 x - 1 d x$

解题步骤 8.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 8.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 8.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

解题步骤 8.5

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

解题步骤 8.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

解题步骤 8.7

化简。

$x^{2} - x + C$

解题步骤 9

在自变量为负的区间，将积分的解与 $- 1$ 相乘。

${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ 的不定积分。

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

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