微积分学示例

$(2 - t) \sqrt{t}$

解题步骤 1

将 $(2 - t) \sqrt{t}$ 书写为一个函数。

$f (t) = (2 - t) \sqrt{t}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (t)$ 的不定积分求函数 $F (t)$ 。

$F (t) = \int f (t) d t$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (t) = \int (2 - t) \sqrt{t} d t$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (2 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 5

展开 $(2 - t) t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 5.2

提取负因数。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

解题步骤 5.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

解题步骤 5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 5.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 5.6

在公分母上合并分子。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

解题步骤 5.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 8

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 10

根据幂法则， $t^{\frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (t) = (2 - t) \sqrt{t}$ 的不定积分。

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

微积分学 示例

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