微积分学示例

$\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 4.4.3

将负号移到分数的前面。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

使 $u = - x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 5.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5.1.6

在公分母上合并分子。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5.1.7

化简分子。

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解题步骤 5.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 5.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 5.1.8

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 5.1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int - 2 e^{u} d u$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- 2 (e^{u} + C)$

解题步骤 9

化简。

$- 2 e^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $- x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$

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