微积分学示例

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

将 $x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

化简 $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 。

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解题步骤 5.1

使用勾股恒等式。

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 6

通过指数相加将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $\sec^{2} (t)$ 。

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 6.2

将 $\sec^{2} (t)$ 乘以 $\sec (t)$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

解题步骤 6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

解题步骤 6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 7

因式分解出 $\tan^{2} (t)$ 。

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 9

使 $u = \sec (t)$ 。然后使 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = \sec (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $\sec (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

解题步骤 9.1.2

$\sec (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec (t) \tan (t)$ 。

$\sec (t) \tan (t)$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 10

乘以 $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 。

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $- 1 u^{2}$ 重写为 $- u^{2}$ 。

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 11.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

解题步骤 14

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

解题步骤 15

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 16.2

化简。

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $\sec (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

解题步骤 17.2

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

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