微积分学示例

$f (x) = x^{2} + \frac{440}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + \frac{440}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{440}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{440}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{440}{x}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{440}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $440$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{440}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $440 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 x + 440 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 x + 440 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x + 440 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $440$ 。

$2 x - 440 x^{- 2}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 x - 440 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.1.3.2.1

组合 $- 440$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 x + \frac{- 440}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 x - \frac{440}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{440}{x^{2}}$ 。

$2 x - \frac{440}{x^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{440}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{440}{x^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 2.3

将 $2 x - \frac{440}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x - \frac{440}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$2 x \cdot x^{2} - \frac{440}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 (x^{2} x) - \frac{440}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{440}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2 + 1} - \frac{440}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{3} - \frac{440}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

将 $- \frac{440}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{3} + \frac{- 440}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{3} + \frac{- 440}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{3} - 440 = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$2 x^{3} - 440 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

在等式两边都加上 $440$ 。

$2 x^{3} = 440$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $440$ 。

$2 x^{3} - 440 = 0$

解题步骤 2.4.3

从 $2 x^{3} - 440$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3}) - 440 = 0$

解题步骤 2.4.3.2

从 $- 440$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 220 = 0$

解题步骤 2.4.3.3

从 $2 x^{3} + 2 \cdot - 220$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3} - 220) = 0$

解题步骤 2.4.4

将 $2 (x^{3} - 220) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $2 (x^{3} - 220) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 220)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x^{3} - 220)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.4.2.1.2

用 $x^{3} - 220$ 除以 $1$ 。

$x^{3} - 220 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x^{3} - 220 = 0$

解题步骤 2.4.5

在等式两边都加上 $220$ 。

$x^{3} = 220$

解题步骤 2.4.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{220}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{440}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} + \frac{440}{x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \sqrt[3]{220}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\sqrt[3]{220}$ 替换 $x$ 。

${(\sqrt[3]{220})}^{2} + \frac{440}{\sqrt[3]{220}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 ${\sqrt[3]{220}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{220^{2}}$ 。

$\sqrt[3]{220^{2}} + \frac{440}{\sqrt[3]{220}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $220$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{48400} + \frac{440}{\sqrt[3]{220}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $48400$ 重写为 $2^{3} \cdot 6050$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

从 $48400$ 中分解出因数 $8$ 。

$\sqrt[3]{8 (6050)} + \frac{440}{\sqrt[3]{220}}$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 6050} + \frac{440}{\sqrt[3]{220}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

从根式下提出各项。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440}{\sqrt[3]{220}}$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $\frac{440}{\sqrt[3]{220}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{220}}^{2}}{{\sqrt[3]{220}}^{2}}$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440}{\sqrt[3]{220}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{220}}^{2}}{{\sqrt[3]{220}}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1.2.1.6.1

将 $\frac{440}{\sqrt[3]{220}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{220}}^{2}}{{\sqrt[3]{220}}^{2}}$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{\sqrt[3]{220} {\sqrt[3]{220}}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.2

对 $\sqrt[3]{220}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{{\sqrt[3]{220}}^{1} {\sqrt[3]{220}}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{{\sqrt[3]{220}}^{1 + 2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{{\sqrt[3]{220}}^{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.5

将 ${\sqrt[3]{220}}^{3}$ 重写为 $220$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{220}$ 重写成 $220^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{{(220^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{220^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{220^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.6.5.4.1

约去公因数。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{220^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.5.4.2

重写表达式。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{220^{1}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.5.5

计算指数。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{440 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{220}$

解题步骤 4.1.2.1.7

约去 $440$ 和 $220$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.7.1

从 $440 {\sqrt[3]{220}}^{2}$ 中分解出因数 $220$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{220 (2 {\sqrt[3]{220}}^{2})}{220}$

解题步骤 4.1.2.1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.7.2.1

从 $220$ 中分解出因数 $220$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{220 (2 {\sqrt[3]{220}}^{2})}{220 (1)}$

解题步骤 4.1.2.1.7.2.2

约去公因数。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{220 (2 {\sqrt[3]{220}}^{2})}{220 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.1.7.2.3

重写表达式。

$2 \sqrt[3]{6050} + \frac{2 {\sqrt[3]{220}}^{2}}{1}$

解题步骤 4.1.2.1.7.2.4

用 $2 {\sqrt[3]{220}}^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + 2 {\sqrt[3]{220}}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.8

将 ${\sqrt[3]{220}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{220^{2}}$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + 2 \sqrt[3]{220^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.9

对 $220$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \sqrt[3]{6050} + 2 \sqrt[3]{48400}$

解题步骤 4.1.2.1.10

将 $48400$ 重写为 $2^{3} \cdot 6050$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.10.1

从 $48400$ 中分解出因数 $8$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + 2 \sqrt[3]{8 (6050)}$

解题步骤 4.1.2.1.10.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + 2 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 6050}$

解题步骤 4.1.2.1.11

从根式下提出各项。

$2 \sqrt[3]{6050} + 2 (2 \sqrt[3]{6050})$

解题步骤 4.1.2.1.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \sqrt[3]{6050} + 4 \sqrt[3]{6050}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2 \sqrt[3]{6050}$ 和 $4 \sqrt[3]{6050}$ 相加。

$6 \sqrt[3]{6050}$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} + \frac{440}{0}$

解题步骤 4.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\sqrt[3]{220}, 6 \sqrt[3]{6050})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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