微积分学示例

$g (y) = \frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y - 4$ 且 $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ 。

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $y - 4$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ 。

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $y^{2} - 2 y + 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $y^{2} - 2 y + 8$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10

因为 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以 $8$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.11

将 $2 y - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y + 4) (2 y - 2)$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.1.6

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3.2

将 $2 y$ 和 $8 y$ 相加。

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

合并 $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

将 $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.4

将 $- 2 y$ 和 $10 y$ 相加。

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

从 $- y^{2} + 8 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $8 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.3

从 $y (- y) + y \cdot 8$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

从 $- (y) - 1 (- 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

将 $- (y - 8)$ 重写为 $- 1 (y - 8)$ 。

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8

将负号移到分数的前面。

$f' (y) = - \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$g (y)$ 对 $y$ 的一阶导数是 $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$ 。

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$y (y - 8) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$y - 8 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.3.3

将 $y - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $y - 8$ 设为等于 $0$ 。

$y - 8 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = 8$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $y (y - 8) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, 8$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $y$ 值，计算 $\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $y = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $y$ 。

$\frac{(0) - 4}{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 4}{0^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 4}{0 - 2 \cdot 0 + 8}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 4}{0 + 0 + 8}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 4}{0 + 8}$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$\frac{- 4}{8}$

解题步骤 4.1.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

约去 $- 4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 1)}{8}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

在 $y = 8$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $8$ 替换 $y$ 。

$\frac{(8) - 4}{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4}{8^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

解题步骤 4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.2.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{64 - 2 \cdot 8 + 8}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4}{64 - 16 + 8}$

解题步骤 4.2.2.2.3

从 $64$ 中减去 $16$ 。

$\frac{4}{48 + 8}$

解题步骤 4.2.2.2.4

将 $48$ 和 $8$ 相加。

$\frac{4}{56}$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $4$ 和 $56$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{56}$

解题步骤 4.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.2.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

解题步骤 4.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

解题步骤 4.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{14}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, - \frac{1}{2}), (8, \frac{1}{14})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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