微积分学示例

$f (x) = 4 \sin (x) - 4 \sqrt{3} \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 \sin (x) - 4 \sqrt{3} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{3} \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{3} \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{3} \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{3} \cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{3} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 4 \sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sqrt{3} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$4 \cos (x) - 4 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 \cos (x) - 4 \sqrt{3} (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$4 \cos (x) + 4 \sqrt{3} \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 4 \sqrt{3} \sin (x) + 4 \cos (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 \sqrt{3} \sin (x) + 4 \cos (x)$ 。

$4 \sqrt{3} \sin (x) + 4 \cos (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 \sqrt{3} \sin (x) + 4 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 \sqrt{3} \sin (x) + 4 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{4 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3

分离分数。

$\frac{4 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{4 \sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x) + \frac{4 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5

用 $4 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$4 \sqrt{3} \tan (x) + \frac{4 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$4 \sqrt{3} \tan (x) + \frac{4 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.6.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \sqrt{3} \tan (x) + 4 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.7

分离分数。

$4 \sqrt{3} \tan (x) + 4 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$4 \sqrt{3} \tan (x) + 4 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 2.9

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 \sqrt{3} \tan (x) + 4 = 0 \sec (x)$

解题步骤 2.10

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$4 \sqrt{3} \tan (x) + 4 = 0$

解题步骤 2.11

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 \sqrt{3} \tan (x) = - 4$

解题步骤 2.12

将 $4 \sqrt{3} \tan (x) = - 4$ 中的每一项除以 $4 \sqrt{3}$ 并化简。

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解题步骤 2.12.1

将 $4 \sqrt{3} \tan (x) = - 4$ 中的每一项都除以 $4 \sqrt{3}$ 。

$\frac{4 \sqrt{3} \tan (x)}{4 \sqrt{3}} = \frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.2

化简左边。

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解题步骤 2.12.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{3} \tan (x)}{4 \sqrt{3}} = \frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.2.2

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.2.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.3

化简右边。

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解题步骤 2.12.3.1

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\tan (x) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.12.3.1.2.1

从 $4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\tan (x) = \frac{4 \cdot - 1}{4 (\sqrt{3})}$

解题步骤 2.12.3.1.2.2

约去公因数。

$\tan (x) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.3

重写表达式。

$\tan (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.3.2

将负号移到分数的前面。

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.3.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 2.12.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.12.3.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.3.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.3.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.12.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.12.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.12.3.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.12.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.12.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.12.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.12.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.3.4.6.4.1

约去公因数。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.12.3.4.6.4.2

重写表达式。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.12.3.4.6.5

计算指数。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.13

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 2.14

化简右边。

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解题步骤 2.14.1

$\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.15

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{6} - π$

解题步骤 2.16

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.16.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{6} - π$ 。

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

解题步骤 2.16.2

得出的角 $\frac{5 π}{6}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{6} - π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 2.17

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.17.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.17.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.17.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.17.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.18

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.18.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + π$

解题步骤 2.18.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.18.3

合并分数。

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解题步骤 2.18.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.18.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 2.18.4

化简分子。

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解题步骤 2.18.4.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 2.18.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{6}$

解题步骤 2.18.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 2.19

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 \sin (x) - 4 \sqrt{3} \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{5 π}{6}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{5 π}{6}$ 替换 $x$ 。

$4 \sin (\frac{5 π}{6}) - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$4 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2}) - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{1}{2} - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.3.3

重写表达式。

$2 - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 - 4 \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.1.2.1.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 - 4 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.1.2.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.6.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 - 4 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.1.2.1.6.2

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 + 2 (- 2 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.1.2.1.6.3

约去公因数。

$2 + 2 (- 2 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.1.2.1.6.4

重写表达式。

$2 - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 + 2 \sqrt{3} \sqrt{3}$

解题步骤 4.1.2.1.8

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

解题步骤 4.1.2.1.9

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

解题步骤 4.1.2.1.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

解题步骤 4.1.2.1.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.12

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.12.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.1.12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.12.4.1

约去公因数。

$2 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.12.4.2

重写表达式。

$2 + 2 \cdot 3^{1}$

解题步骤 4.1.2.1.12.5

计算指数。

$2 + 2 \cdot 3$

解题步骤 4.1.2.1.13

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 + 6$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$8$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{11 π}{6}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{11 π}{6}$ 替换 $x$ 。

$4 \sin (\frac{11 π}{6}) - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$4 (- \sin (\frac{π}{6})) - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (- \frac{1}{2}) - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$4 (\frac{- 1}{2}) - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{- 1}{2} - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.3.3

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.3.4

重写表达式。

$2 \cdot - 1 - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 2 - 4 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 4.2.2.1.6

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 - 4 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.7.1

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 + 2 (- 2 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.7.2

约去公因数。

$- 2 + 2 (- 2 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.7.3

重写表达式。

$- 2 - 2 \sqrt{3} \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.2.1.8

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 - 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.1.9

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 - 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

解题步骤 4.2.2.1.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 - 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

解题步骤 4.2.2.1.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 - 2 {\sqrt{3}}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.12

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.12.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 - 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.1.12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 - 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.12.4.1

约去公因数。

$- 2 - 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.12.4.2

重写表达式。

$- 2 - 2 \cdot 3^{1}$

解题步骤 4.2.2.1.12.5

计算指数。

$- 2 - 2 \cdot 3$

解题步骤 4.2.2.1.13

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 2 - 6$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $6$ 。

$- 8$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{5 π}{6} + 2 π n, 8), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, - 8)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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