微积分学示例

$f (x) = 2 x \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去公因数。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.4.2.2

重写表达式。

$2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.1.4.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 + \ln (x))$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

解题步骤 1.1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 \ln (x)$

解题步骤 1.1.5.3

重新排序项。

$f' (x) = 2 \ln (x) + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 \ln (x) + 2$ 。

$2 \ln (x) + 2$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \ln (x) + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \ln (x) + 2 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$2 \ln (x) = - 2$

解题步骤 2.3

将 $2 \ln (x) = - 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 \ln (x) = - 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$\ln (x) = - 1$

解题步骤 2.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

解题步骤 2.5

使用对数的定义将 $\ln (x) = - 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 1} = x$

解题步骤 2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将方程重写为 $x = e^{- 1}$ 。

$x = e^{- 1}$

解题步骤 2.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 3.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{1}{e}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{1}{e}$ 替换 $x$ 。

$2 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{2}{e} \ln (\frac{1}{e})$

解题步骤 4.1.2.2

将 $\frac{1}{e}$ 重写为 $1 e^{- 1}$ 。

$\frac{2}{e} \ln (1 e^{- 1})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $\ln (1 e^{- 1})$ 重写为 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 。

$\frac{2}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

解题步骤 4.1.2.4

使用对数规则把 $- 1$ 移到指数外部。

$\frac{2}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

解题步骤 4.1.2.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1)$

解题步骤 4.1.2.7

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{2}{e} (0 - 1)$

解题步骤 4.1.2.8

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{e} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.2.9

乘以 $\frac{2}{e} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.9.1

组合 $\frac{2}{e}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{e}$

解题步骤 4.1.2.9.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{e}$

解题步骤 4.1.2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e}$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$2 (0) \ln (0)$

解题步骤 4.2.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{1}{e}, - \frac{2}{e})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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