微积分学示例

$f (x) = \frac{- x^{2} - 25}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} - 25$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $- x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{1 + 1} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9

化简。

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解题步骤 1.1.9.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{2} - - x^{2} - - 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.2.1.1

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.9.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} - - 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} + 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2.2

将 $- 2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{- x^{2} + 25}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.9.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.3.2

将 $- x^{2}$ 和 $5^{2}$ 重新排序。

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$(5 + x) (5 - x) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $5 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $5 + x$ 设为等于 $0$ 。

$5 + x = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.3.3

将 $5 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $5 - x$ 设为等于 $0$ 。

$5 - x = 0$

解题步骤 2.3.3.2

求解 $x$ 的 $5 - x = 0$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- x = - 5$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $- x = - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

将 $- x = - 5$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.3.1

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $(5 + x) (5 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 5, 5$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $- 5, 5$ 。

$- 5, 5$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 + 6)}{{(- 6)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $5$ 和 $6$ 相加。

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{{(- 6)}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{36}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$f' (- 6) = \frac{- 11}{36}$

解题步骤 6.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 6) = - \frac{11}{36}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{11}{36}$ 。

$- \frac{11}{36}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 6$ 处，导数为 $- \frac{11}{36}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 5)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 5, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- \frac{5}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.4.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4.2

从 $10$ 中减去 $5$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5

乘以 $- - \frac{5}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + 1 (\frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5.2

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.6

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.7

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.8

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.9

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.9.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{10 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.9.2

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3

化简分母。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.3

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 7.2.3.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{2^{2}})}$

解题步骤 7.2.3.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{4})}$

解题步骤 7.2.3.6

将 $\frac{25}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 7.2.4

合并分数。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{15}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 7.2.4.2

乘。

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解题步骤 7.2.4.2.1

将 $5$ 乘以 $15$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 7.2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 7.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

解题步骤 7.2.6

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

解题步骤 7.2.6.2

约去公因数。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

解题步骤 7.2.6.3

重写表达式。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

解题步骤 7.2.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.7.1

约去公因数。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

解题步骤 7.2.7.2

重写表达式。

$f' (- \frac{5}{2}) = 3$

解题步骤 7.2.8

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 7.3

在 $x = - \frac{5}{2}$ 处，导数为 $3$ 。由于其值为正，函数在 $(- 5, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 5, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $\frac{5}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

去掉圆括号。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.4.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4.2

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.5

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.6

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.7

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.8

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.8.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{10 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.8.2

从 $10$ 中减去 $5$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.3

化简分母。

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解题步骤 8.2.3.1

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.3.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 8.2.4

合并分数。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $\frac{15}{2}$ 乘以 $\frac{5}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 8.2.4.2

乘。

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解题步骤 8.2.4.2.1

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 8.2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

解题步骤 8.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

解题步骤 8.2.6

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

解题步骤 8.2.6.2

约去公因数。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

解题步骤 8.2.6.3

重写表达式。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

解题步骤 8.2.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.7.1

约去公因数。

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

解题步骤 8.2.7.2

重写表达式。

$f' (\frac{5}{2}) = 3$

解题步骤 8.2.8

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 8.3

在 $x = \frac{5}{2}$ 处，导数为 $3$ 。由于其值为正，函数在 $(0, 5)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, 5)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(5, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

去掉圆括号。

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $5$ 和 $6$ 相加。

$f' (6) = \frac{11 (5 - (6))}{6^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = \frac{11 (5 - 6)}{6^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{6^{2}}$

解题步骤 9.2.3

化简表达式。

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解题步骤 9.2.3.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{36}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (6) = \frac{- 11}{36}$

解题步骤 9.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (6) = - \frac{11}{36}$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $- \frac{11}{36}$ 。

$- \frac{11}{36}$

解题步骤 9.3

在 $x = 6$ 处，导数为 $- \frac{11}{36}$ 。由于其值为负，函数在 $(5, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(5, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 5, 0), (0, 5)$

递减于： $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例