微积分学示例

$e^{x} - 2 x$

解题步骤 1

将 $e^{x} - 2 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{x} - 2 x$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{x} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} - 2$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $e^{x} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = e^{x} + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = e^{x}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$e^{x} - 2 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $e^{x} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 5.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{x} - 2$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $e^{x} - 2$ 。

$e^{x} - 2$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $e^{x} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$e^{x} - 2 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$e^{x} = 2$

解题步骤 6.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

解题步骤 6.4

展开左边。

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解题步骤 6.4.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (2)$

解题步骤 6.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

解题步骤 6.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (2)$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = \ln (2)$

解题步骤 9

计算在 $x = \ln (2)$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$e^{\ln (2)}$

解题步骤 10

指数函数和对数函数互为反函数。

$2$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \ln (2)$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \ln (2)$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = \ln (2)$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\ln (2)$ 替换变量 $x$ 。

$f (\ln (2)) = e^{\ln (2)} - 2 \ln (2)$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (2)) = 2 - 2 \ln (2)$

解题步骤 12.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (2)$ 。

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (2^{2})$

解题步骤 12.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (4)$

解题步骤 12.2.2

最终答案为 $2 - \ln (4)$ 。

$y = 2 - \ln (4)$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = e^{x} - 2 x$ 的局部极值。

$(\ln (2), 2 - \ln (4))$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

微积分学 示例

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