微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[1, 4]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{x}{x + 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.1.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.3

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

判断导数在 $(1, 4)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $(1, 4)$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.1.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(1, 4)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(1, 4)$ 上可微，因为其导数在 $(1, 4)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[1, 4]$ 上连续，并且在 $(1, 4)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上连续，在 $(1, 4)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[1, 4]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = \frac{1}{3}$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 8

在区间 $[1, 4]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

约去 $4$ 和 $(4) + 2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

解题步骤 8.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

解题步骤 8.2.1.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.1.2.3

从 $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

解题步骤 8.2.1.2.4

约去公因数。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

解题步骤 8.2.1.2.5

重写表达式。

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (4) = \frac{2}{3}$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ 。

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解题步骤 9.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

解题步骤 9.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

解题步骤 9.1.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

解题步骤 9.1.5

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 9.1.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 9.1.7

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 9.1.7.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.1.7.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

解题步骤 9.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 9.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

${(x + 2)}^{2}, 9$

解题步骤 9.2.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 9.2.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 9.2.4

$9$ 具有因式 $3$ 和 $3$ 。

$3 \cdot 3$

解题步骤 9.2.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9$

解题步骤 9.2.6

$x + 2$ 的因式是 $(x + 2) \cdot (x + 2)$ ，同时也是 $x + 2$ 乘以其本身 $2$ 次。

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 9.2.7

${(x + 2)}^{2}$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

${(x + 2)}^{2}$

解题步骤 9.2.8

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$9 {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 9.3

将 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ 中的每一项乘以 $9 {(x + 2)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ 中的每一项乘以 $9 {(x + 2)}^{2}$ 。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 9.3.2.2

乘以 $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.2.2.1

组合 $9$ 和 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 9.3.2.2.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 9.3.2.3

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 9.3.2.3.2

重写表达式。

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1.1

从 $9 {(x + 2)}^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

解题步骤 9.3.3.1.2

约去公因数。

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 9.3.3.1.3

重写表达式。

$18 = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 9.4

求解方程。

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解题步骤 9.4.1

将方程重写为 ${(x + 2)}^{2} = 18$ 。

${(x + 2)}^{2} = 18$

解题步骤 9.4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

解题步骤 9.4.3

化简 $\pm \sqrt{18}$ 。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 9.4.3.1.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

解题步骤 9.4.3.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

解题步骤 9.4.3.2

从根式下提出各项。

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

解题步骤 9.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

解题步骤 9.4.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

解题步骤 9.4.4.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

解题步骤 9.4.4.4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

解题步骤 9.4.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

解题步骤 10

点 $x = 3 \sqrt{2} - 2$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 1$ 和 $b = 4$ 的直线平行。

解题步骤 11

点 $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 1$ 和 $b = 4$ 的直线平行。

解题步骤 12

微积分学 示例

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