微积分学示例

$y = \ln (9 + \ln (x))$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 9 + \ln (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 + \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $9 + \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $9 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 1.2.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 相加。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{1}{9 + \ln (x)}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

解题步骤 1.5.3

从 $x \ln (x) + 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

从 $x \ln (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

解题步骤 1.5.3.2

从 $9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.3

从 $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ 重写为 ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x (\ln (x) + 9)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x (\ln (x) + 9)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x) + 9$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $\ln (x) + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6.2.3

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.3.1

约去公因数。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6.2.3.2

重写表达式。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

解题步骤 2.6.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.4.1

将 $\ln (x) + 9$ 乘以 $1$ 。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

解题步骤 2.6.4.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

解题步骤 2.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

解题步骤 2.7.2

对 $x (\ln (x) + 9)$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

解题步骤 2.7.3

重新排序 $- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ 的因式。

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.4

运用分配律。

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.5

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.6

将 $- 10 - \ln (x)$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ 。

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.7

从 $- 10 - \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.7.1

将 $- 10$ 重写为 $- 1 (10)$ 。

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.2

从 $- \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.3

从 $- 1 (10) - (\ln (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.4

将 $- 1 (10 + \ln (x))$ 重写为 $- (10 + \ln (x))$ 。

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例