微积分学示例

$y = x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.3.5

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \sin (x)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $\cos (x) (2 x)$ 中减去 $2 x \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1

移动 $\cos (x)$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

解题步骤 1.5.2.1.2

从 $2 x \cos (x)$ 中减去 $2 x \cos (x)$ 。

$x^{2} (- \sin (x)) + 0 - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

解题步骤 1.5.2.2

将 $x^{2} (- \sin (x))$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (- \sin (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

解题步骤 1.5.2.3

将 $- 2 \sin (x)$ 和 $2 \sin (x)$ 相加。

$x^{2} (- \sin (x)) + 0$

解题步骤 1.5.2.4

将 $x^{2} (- \sin (x))$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (- \sin (x))$

解题步骤 1.5.3

重新排序 $x^{2} (- \sin (x))$ 的因式。

$f' (x) = - x^{2} \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$

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