微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式 $\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

解题步骤 2.2.2

合并。

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

解题步骤 2.2.3

约去 $7^{n + 1}$ 和 $7^{n}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ 中分解出因数 $7^{n}$ 。

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

解题步骤 2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

从 $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ 中分解出因数 $7^{n}$ 。

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去公因数。

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

解题步骤 2.2.3.2.3

重写表达式。

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $4^{n + 3}$ 和 $4^{n + 1 + 3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $7 \cdot 4^{n + 3}$ 中分解出因数 $4^{n + 1 + 3}$ 。

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

解题步骤 2.2.4.2.4

用 $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ 除以 $1$ 。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

解题步骤 2.2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

解题步骤 2.2.5.2

运用分配律。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

解题步骤 2.2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

解题步骤 2.2.6

合并 $n + 3 - n - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $n$ 中减去 $n$ 。

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

解题步骤 2.2.7

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

解题步骤 2.2.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.9

组合 $7$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$r = \frac{7}{4}$

解题步骤 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.

微积分学 示例

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