微积分学示例

$x^{- 3} \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.1.3

合并分数。

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解题步骤 1.1.3.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.1.4.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

重新排序项。

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.6.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.6.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.6.2.4

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{3}{x^{4}}$ 。

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.6.2.5

将 $3$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ 。

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$- 3 \ln (x) = - 1$

解题步骤 2.4

将 $- 3 \ln (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $- 3 \ln (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.6

使用对数的定义将 $\ln (x) = \frac{1}{3}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{3}} = x$

解题步骤 2.7

将方程重写为 $x = e^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = e^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{4} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

解题步骤 3.2.2

化简 $\pm \sqrt[4]{0}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

解题步骤 3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 3.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{- 3} \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = e^{\frac{1}{3}}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $e^{\frac{1}{3}}$ 替换 $x$ 。

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 ${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

重写表达式。

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2.3

使用对数规则把 $\frac{1}{3}$ 移到指数外部。

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

解题步骤 4.1.2.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.1.2.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 4.1.2.6

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{e \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2.7

将 $3$ 移到 $e$ 的左侧。

$\frac{1}{3 e}$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

解题步骤 4.2.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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