微积分学示例

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.4

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $x - \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 2.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 2.2.2.6

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 2.2.2.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$1 + x^{- 2} + 0$

解题步骤 2.2.2.8

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$1 + x^{- 2}$

解题步骤 2.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{1}{x^{2}} + 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

解题步骤 3.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 3.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$1 = - x^{2}$

解题步骤 3.5

求解方程。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $- x^{2} = 1$ 。

$- x^{2} = 1$

解题步骤 3.5.2

将 $- x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 3.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 3.5.4

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 3.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 3.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 3.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 4

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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