微积分学示例

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

解题步骤 1

将 $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{2} (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.4.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.6

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.2.2.6.1

移动 $\sin (x)$ 。

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.6.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.2.2.6.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.7

将 $- 1$ 移到 $\sin^{3} (x)$ 的左侧。

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.8

将 $- 1 \sin^{3} (x)$ 重写为 $- \sin^{3} (x)$ 。

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ 。

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 6 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $- 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.2.4

从 $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.2.5

从 $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.4.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.4.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.4.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5

将 $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $4 (1 - \sin^{2} (x))$ 替换 $4 \cos^{2} (x)$ 。

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.2.1

运用分配律。

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.5.2.3.1

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 3.5.2.3.2

从 $- 4 \sin^{2} (x)$ 中减去 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 3.5.2.4

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

解题步骤 3.5.2.5

将 $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.5.1

将 $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

解题步骤 3.5.2.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.5.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

解题步骤 3.5.2.5.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

解题步骤 3.5.2.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.5.3.1

约去 $- 3$ 和 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.5.3.1.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

解题步骤 3.5.2.5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.5.3.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.2.5.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.2.5.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.5.2.7

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.7.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.7.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.7.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.2.7.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.2.7.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.7.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.2.7.4.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.2.8.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.8.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.10

在 $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.2.10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3.5.2.10.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.10.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5.2.10.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5.2.10.4

化简 $π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 3.5.2.10.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5.2.10.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.5.2.10.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5.2.10.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 3.5.2.10.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.10.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 3.5.2.10.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3.5.2.10.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.5.2.10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.5.2.10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.5.2.10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.5.2.10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.5.2.10.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5.2.11

在 $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.2.11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3.5.2.11.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.11.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 3.5.2.11.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.5.2.11.4.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 3.5.2.11.4.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.5.2.11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.5.2.11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.5.2.11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.5.2.11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.5.2.11.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.5.2.11.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 3.5.2.11.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.6.3

合并分数。

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解题步骤 3.5.2.11.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.6.4

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.11.6.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.6.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.6.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 3.5.2.11.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5.2.12

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5.2.13

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.6

最终解为使 $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.7

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

通过将代入 $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ 中求得的点为 $(,)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(,)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.3.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.3.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.3.4

从根式下提出各项。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.5.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.5.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.6.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.7

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

解题步骤 4.2.2.1.8

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

解题步骤 4.2.2.2

化简项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $\sqrt{2}$ 和 $3 \sqrt{2}$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.4

用 $2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $2 + 2 \sqrt{2}$ 。

$2 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.3

通过将 $\frac{π}{4}$ 代入 $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ 中求得的点为 $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 4.4

确定可能是拐点的点。

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty,)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ 。

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.88059055$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty,)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty,)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(, \frac{π}{4})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.39269908$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

解题步骤 7.2

最终答案为 $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ 。

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

解题步骤 7.3

在 $0.39269908$ 处，二阶导数为 $2.43538245$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(, \frac{π}{4})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(, \frac{π}{4})$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.88539816$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

解题步骤 8.2

最终答案为 $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ 。

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

解题步骤 8.3

在 $0.88539816$ ，二阶导数为 $- 1.38422929$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ 。

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例