微积分学示例

$f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $7 \sqrt{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \sqrt{2} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$7 \sqrt{2} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 \sqrt{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 7 \sqrt{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.3.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.3.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.3.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 2.3.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 2.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 2.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) + 14 (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) - 14 \sin^{2} (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 4

从 $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $7 \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

从 $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ 中分解出因数 $7 \sin (x)$ 。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 4.2

从 $14 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $7 \sin (x)$ 。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

解题步骤 4.3

从 $7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x))$ 中分解出因数 $7 \sin (x)$ 。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 6

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 6.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 6.2.5

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 7

将 $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $\sqrt{2}$ 。

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 7.2.2

将 $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.4

化简右边。

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解题步骤 7.2.4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 7.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.6.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 7.2.6.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 7.2.7

方程 $x = \frac{π}{4}$ 的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

解题步骤 8

最终解为使 $7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, π, \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 7 \sqrt{2} \cos (0) + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

解题步骤 10.1.2

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

解题步骤 10.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1^{2} - 14 \sin^{2} (0)$

解题步骤 10.1.4

一的任意次幂都为一。

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (0)$

解题步骤 10.1.5

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

解题步骤 10.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

解题步骤 10.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

解题步骤 10.1.8

将 $- 14$ 乘以 $0$ 。

$- 7 \sqrt{2} + 14 + 0$

解题步骤 10.2

将 $- 7 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$14 - 7 \sqrt{2}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cos (0) + 7 \sin^{2} (0)$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 7 \sin^{2} (0)$

解题步骤 12.2.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

解题步骤 12.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

解题步骤 12.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

解题步骤 12.2.1.5

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 0$

解题步骤 12.2.2

将 $7 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 7 \sqrt{2}$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $7 \sqrt{2}$ 。

$y = 7 \sqrt{2}$

解题步骤 13

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 7 \sqrt{2} \cos (π) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$7 \sqrt{2} + 14 {(- \cos (0))}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.9

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (π)$

解题步骤 14.1.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

解题步骤 14.1.11

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

解题步骤 14.1.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

解题步骤 14.1.13

将 $- 14$ 乘以 $0$ 。

$7 \sqrt{2} + 14 + 0$

解题步骤 14.2

将 $7 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$14 + 7 \sqrt{2}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = π$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cos (π) + 7 \sin^{2} (π)$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 7 \sin^{2} (π)$

解题步骤 16.2.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 7 \sin^{2} (π)$

解题步骤 16.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 7 \sin^{2} (π)$

解题步骤 16.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (π)$

解题步骤 16.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

解题步骤 16.2.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

解题步骤 16.2.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

解题步骤 16.2.1.8

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 0$

解题步骤 16.2.2

将 $- 7 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (π) = - 7 \sqrt{2}$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $- 7 \sqrt{2}$ 。

$y = - 7 \sqrt{2}$

解题步骤 17

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

化简每一项。

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解题步骤 18.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.2

乘以 $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 18.1.2.1

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $- 7$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.2.2

组合 $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.2.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.3.5

计算指数。

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.4

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.5

用 $- 14$ 除以 $2$ 。

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.6

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.7

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.8.4.1

约去公因数。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.8.4.2

重写表达式。

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.8.5

计算指数。

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.10.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.10.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.10.3

约去公因数。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.10.4

重写表达式。

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.11

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.12

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.13

用 $14$ 除以 $2$ 。

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.14

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 7 + 7 - 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 18.1.15

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 18.1.16

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.1.16.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 18.1.16.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 18.1.16.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 18.1.16.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.16.4.1

约去公因数。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 18.1.16.4.2

重写表达式。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 18.1.16.5

计算指数。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

解题步骤 18.1.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

解题步骤 18.1.18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.18.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

解题步骤 18.1.18.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 18.1.18.3

约去公因数。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 18.1.18.4

重写表达式。

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

解题步骤 18.1.19

组合 $- 7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 18.1.20

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

解题步骤 18.1.21

用 $- 14$ 除以 $2$ 。

$- 7 + 7 - 7$

解题步骤 18.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 18.2.1

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$0 - 7$

解题步骤 18.2.2

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$- 7$

解题步骤 19

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 20

求 $x = \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 20.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2

乘以 $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 20.2.1.2.1

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $7$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2.2

组合 $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 20.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3.5

计算指数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.4

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.5

用 $14$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.7

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 20.2.1.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 20.2.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 20.2.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 20.2.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 20.2.1.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.8.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 20.2.1.8.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 20.2.1.8.5

计算指数。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 20.2.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

解题步骤 20.2.1.10

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.10.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

解题步骤 20.2.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 20.2.1.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 20.2.1.10.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 20.2.1.10.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

解题步骤 20.2.1.11

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

解题步骤 20.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

解题步骤 20.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

解题步骤 20.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

解题步骤 20.2.5

化简分子。

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解题步骤 20.2.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

解题步骤 20.2.5.2

将 $14$ 和 $7$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{21}{2}$

解题步骤 20.2.6

最终答案为 $\frac{21}{2}$ 。

$y = \frac{21}{2}$

解题步骤 21

计算在 $x = \frac{7 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22

计算二阶导数。

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解题步骤 22.1

化简每一项。

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解题步骤 22.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.3

乘以 $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 22.1.3.1

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $- 7$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.3.2

组合 $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.3.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 22.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.4.5

计算指数。

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.5

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.6

用 $- 14$ 除以 $2$ 。

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.8

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.9

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 22.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.10.4.1

约去公因数。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.10.4.2

重写表达式。

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.10.5

计算指数。

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.12.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.12.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.12.3

约去公因数。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.12.4

重写表达式。

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.13

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.14

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.15

用 $14$ 除以 $2$ 。

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 22.1.16

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 7 + 7 - 14 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

解题步骤 22.1.17

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 7 + 7 - 14 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 22.1.18

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 22.1.18.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 22.1.18.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 22.1.19

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 7 + 7 - 14 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 22.1.20

将 $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 22.1.21

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 22.1.21.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 22.1.21.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 22.1.21.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 22.1.21.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.21.4.1

约去公因数。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 22.1.21.4.2

重写表达式。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 22.1.21.5

计算指数。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

解题步骤 22.1.22

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

解题步骤 22.1.23

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.23.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

解题步骤 22.1.23.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 22.1.23.3

约去公因数。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 22.1.23.4

重写表达式。

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

解题步骤 22.1.24

组合 $- 7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 22.1.25

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

解题步骤 22.1.26

用 $- 14$ 除以 $2$ 。

$- 7 + 7 - 7$

解题步骤 22.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 22.2.1

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$0 - 7$

解题步骤 22.2.2

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$- 7$

解题步骤 23

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{7 π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7 π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 24

求 $x = \frac{7 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 24.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2

化简结果。

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解题步骤 24.2.1

化简每一项。

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解题步骤 24.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3

乘以 $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 24.2.1.3.1

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $7$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3.2

组合 $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 24.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.1.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.4.5

计算指数。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.5

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.6

用 $14$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

解题步骤 24.2.1.8

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 24.2.1.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 24.2.1.9.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 24.2.1.9.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 24.2.1.10

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 24.2.1.11

将 $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 24.2.1.12

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 24.2.1.12.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 24.2.1.12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 24.2.1.12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 24.2.1.12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.1.12.4.1

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 24.2.1.12.4.2

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 24.2.1.12.5

计算指数。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 24.2.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

解题步骤 24.2.1.14

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.1.14.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

解题步骤 24.2.1.14.2

约去公因数。

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解题步骤 24.2.1.14.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 24.2.1.14.2.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 24.2.1.14.2.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

解题步骤 24.2.1.15

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

解题步骤 24.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

解题步骤 24.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

解题步骤 24.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

解题步骤 24.2.5

化简分子。

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解题步骤 24.2.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

解题步骤 24.2.5.2

将 $14$ 和 $7$ 相加。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{21}{2}$

解题步骤 24.2.6

最终答案为 $\frac{21}{2}$ 。

$y = \frac{21}{2}$

解题步骤 25

这些是 $f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ 的局部极值。

$(0, 7 \sqrt{2})$ 是一个局部最小值

$(π, - 7 \sqrt{2})$ 是一个局部最小值

$(\frac{π}{4}, \frac{21}{2})$ 是一个局部最大值

$(\frac{7 π}{4}, \frac{21}{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 26

微积分学 示例

微积分学示例