微积分学示例

$f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $x^{2} - 5 x + 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

根据加法法则， $x^{2} - 5 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.10

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.11

将 $2 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x - - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 2) (2 x - 5)$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.4

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.1.6

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3.2

将 $5 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} - 5 x + 6 + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

将 $- 5 x$ 和 $9 x$ 相加。

$\frac{- x^{2} + 4 x + 6 - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.4

从 $6$ 中减去 $10$ 。

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.2

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

化简分母。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 1.1.1.3.4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 3) (x - 2))}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.2

对 $(x - 3) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.3

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.4

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.5

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.6

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.6.1

约去公因数。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 重写为 ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$2 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.4.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.7.1

将 $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$2 {(x - 3)}^{- 3} + 0$

解题步骤 1.1.2.4.7.2

将 $2 {(x - 3)}^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$2 {(x - 3)}^{- 3}$

解题步骤 1.1.2.5

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$ 。

$\frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{{(x - 3)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{{(x - 3)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.2.3

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.2.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.2.5

最终解为使 $(x - 3) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 2$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2, 3}$

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2, 3}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{2}{- 27}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = - \frac{2}{27}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- \frac{2}{27}$ 。

$- \frac{2}{27}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 2)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(2, 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $2.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.5) = \frac{2}{{((2.5) - 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $2.5$ 中减去 $3$ 。

$f'' (2.5) = \frac{2}{{(- 0.5)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2.5) = \frac{2}{- 0.125}$

解题步骤 5.2.2

用 $2$ 除以 $- 0.125$ 。

$f'' (2.5) = - 16$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 16$ 。

$- 16$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(2, 3)$ 上向下凹，因为 $f'' (2.5)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(2, 3)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(3, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6) = \frac{2}{{((6) - 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$f'' (6) = \frac{2}{3^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{2}{27}$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $\frac{2}{27}$ 。

$\frac{2}{27}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(3, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(2, 3)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例