微积分学示例

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} \ln (3 x) + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (3 x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.7

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $3$ 。

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.8.1

约去公因数。

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.8.2

重写表达式。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.9

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.10

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.10.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.10.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.10.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.10.2.4

重写表达式。

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.10.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $x + \ln (3 x) (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$x + \ln (3 x) (2 x)$

解题步骤 1.1.4.2

重新排序项。

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x \ln (3 x) + x$ 。

$2 x \ln (3 x) + x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x \ln (3 x) + x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 x \ln (3 x) = - x$

解题步骤 2.3

将 $2 x \ln (3 x) = - x$ 中的每一项除以 $2 x$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x \ln (3 x) = - x$ 中的每一项都除以 $2 x$ 。

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.3.2.2.2

用 $\ln (3 x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1

约去公因数。

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.3.3.1.2

重写表达式。

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5

使用对数的定义将 $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

解题步骤 2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将方程重写为 $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

解题步骤 2.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

解题步骤 2.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (3 x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 x \leq 0$

解题步骤 3.2

将 $3 x \leq 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $3 x \leq 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{0}{3}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x \leq 0$

解题步骤 3.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} \ln (3 x) + 6$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $3 e^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.3

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.3.3

化简。

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

解题步骤 4.1.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

解题步骤 4.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

解题步骤 4.1.2.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

解题步骤 4.1.2.6

通过将 $- \frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ 。

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

解题步骤 4.1.2.7

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

解题步骤 4.1.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.2.9

乘以 $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.1.2.9.1

将 $\frac{1}{9 e}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

解题步骤 4.1.2.9.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{1}{18 e} + 6$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 \ln (3 (0)) + 6$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $\ln (3 (0))$ 重写为 $\ln (3) + \ln (0)$ 。

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

解题步骤 4.2.2.1.3

零的自然对数无定义。

无定义

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

解题步骤 4.2.2.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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