微积分学示例

$f (x) = 1 - x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $1 - x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.3

从 $0$ 中减去 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f' (x) = - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.2.2

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2.3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.3.3

化简指数。

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解题步骤 2.3.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

解题步骤 3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 3.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $1 - x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$1 - {(0)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$1 - {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

约去公因数。

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

重写表达式。

$1 - 0^{3}$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - 0$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(0, 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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