微积分学示例

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

解题步骤 1

该导数无法用链式法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 2.1

去掉圆括号。

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ x^{j} θ)]$

解题步骤 2.2

将 $\log (1 - σ x^{j} θ)$ 中的因式重新排序。

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ 。

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \log (σ) x^{j} θ$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ 对 $y$ 的导数是 $- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}]$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = j$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- \log (1 - σ θ x^{j})$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ θ x^{j})$ 对 $y$ 的导数是 $- \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $1 - y^{j}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}]$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{j}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{j}]$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - \frac{d}{d y} [y^{j}])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = j$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - (j y^{j - 1}))$

解题步骤 4.6

从 $0$ 中减去 $j y^{j - 1}$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (- j y^{j - 1})$

解题步骤 4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + 1 \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

解题步骤 4.8

将 $\log (1 - σ θ x^{j})$ 乘以 $1$ 。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序项。

$- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$

解题步骤 5.2

将 $- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$ 中的因式重新排序。

$- j θ y^{j - 1} x^{j} \log (σ) + j y^{j - 1} \log (1 - σ θ x^{j})$

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