微积分学示例

$\cos^{-1} (\sin (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos^{-1} (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\cos^{-1} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \cos (x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

解题步骤 3.2

使用勾股恒等式。

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 3.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.4

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.4.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

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