微积分学示例

$x^{2} \ln (x)$

解题步骤 1

将 $x^{2} \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2.2.4

重写表达式。

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x + \ln (x) (2 x)$

解题步骤 2.1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x \ln (x) + x$ 。

$2 x \ln (x) + x$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x \ln (x) + x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x \ln (x) + x = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 x \ln (x) = - x$

解题步骤 3.3

将 $2 x \ln (x) = - x$ 中的每一项除以 $2 x$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 x \ln (x) = - x$ 中的每一项都除以 $2 x$ 。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 3.3.2.2.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

约去公因数。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 3.3.3.1.2

重写表达式。

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

解题步骤 3.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $x = e^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 5.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 6

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

解题步骤 7

排除不在定义域中的区间。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 8

将区间 $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.30326533$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

去掉圆括号。

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

解题步骤 8.2.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $2$ 乘以 $0.30326533$ 。

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

解题步骤 8.2.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $0.60653067 \ln (0.30326533)$ 。

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

解题步骤 8.2.2.3

对 $0.30326533$ 进行 $0.60653067$ 次方运算。

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

解题步骤 8.2.3

将 $\ln (0.48496413)$ 和 $0.30326533$ 相加。

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 0.42041501$ 。

$- 0.42041501$

解题步骤 8.3

在 $x = 0.30326533$ 处，导数为 $- 0.42041501$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 上递减

解题步骤 9

排除不在定义域中的区间。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

解题步骤 10

将区间 $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $1.60653067$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

去掉圆括号。

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

解题步骤 10.2.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $2$ 乘以 $1.60653067$ 。

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

解题步骤 10.2.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3.21306134 \ln (1.60653067)$ 。

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

解题步骤 10.2.2.3

对 $1.60653067$ 进行 $3.21306134$ 次方运算。

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

解题步骤 10.2.3

将 $\ln (4.58705612)$ 和 $1.60653067$ 相加。

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

解题步骤 10.2.4

最终答案为 $3.12976912$ 。

$3.12976912$

解题步骤 10.3

在 $x = 1.60653067$ 处，导数为 $3.12976912$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ 上递增

解题步骤 11

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

递减于： $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 12

微积分学 示例

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