微积分学示例

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $a = 1$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = 1$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

解题步骤 3

计算 $f (1)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

解题步骤 3.2

化简 $(1) + \frac{1}{1}$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$(1) + \frac{1}{1}$

解题步骤 3.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1 + 1$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $1$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 - x^{- 2}$

解题步骤 4.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.4

重新排序项。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{1} + 1$

解题步骤 4.3.1.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1} + 1$

解题步骤 4.3.1.2.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 1$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = 2 + 0 (x - 1)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 乘以 $x - 1$ 。

$L (x) = 2 + 0$

解题步骤 6.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$L (x) = 2$

解题步骤 7

微积分学 示例

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