微积分学示例

$6 \sin (x) + 6 \cos (x)$

解题步骤 1

将 $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 6 \sin (x) + 6 \cos (x)$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

解题步骤 2.1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$6 \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$6 \cos (x) + 6 (- \sin (x))$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = 6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $6 \cos (x) - 6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- 6 \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 6 \cos (x)$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 6 \sin (x) - 6 \cos (x)$ 。

$- 6 \sin (x) - 6 \cos (x)$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.2.3

分离分数。

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 6}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.2.5

用 $- 6$ 除以 $1$ 。

$- 6 \tan (x) + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.2.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

约去公因数。

$- 6 \tan (x) + \frac{- 6 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.2.6.2

用 $- 6$ 除以 $1$ 。

$- 6 \tan (x) - 6 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.2.7

分离分数。

$- 6 \tan (x) - 6 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.2.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- 6 \tan (x) - 6 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 2.2.9

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 6 \tan (x) - 6 = 0 \sec (x)$

解题步骤 2.2.10

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- 6 \tan (x) - 6 = 0$

解题步骤 2.2.11

在等式两边都加上 $6$ 。

$- 6 \tan (x) = 6$

解题步骤 2.2.12

将 $- 6 \tan (x) = 6$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 2.2.12.1

将 $- 6 \tan (x) = 6$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

解题步骤 2.2.12.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.12.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

解题步骤 2.2.12.2.1.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{6}{- 6}$

解题步骤 2.2.12.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.12.3.1

用 $6$ 除以 $- 6$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 2.2.13

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 2.2.14

化简右边。

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解题步骤 2.2.14.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.2.15

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 2.2.16

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.2.16.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 2.2.16.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.2.17

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.17.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.2.17.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.17.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.2.17.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2.18

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.2.18.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 2.2.18.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.2.18.3

合并分数。

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解题步骤 2.2.18.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.2.18.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.2.18.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.18.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 2.2.18.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.2.18.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.2.19

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - 6 \sin (0) - 6 \cos (0)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 - 6 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 6 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 6$

解题步骤 5.2.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f'' (0) = - 6$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 6

微积分学 示例

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