微积分学示例

$y = \sqrt{x + 2}$ , $y = \frac{1}{x + 1}$ , $x = 2$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sqrt{x + 2} = \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 1.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 0.24512233 + y = \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 1.3

当 $x = - 0.24512233$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $- 0.24512233$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 0.24512233$ 代入 $y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{1}{- 0.24512233 + 1}$

解题步骤 1.3.2.2

去掉圆括号。

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

解题步骤 1.3.2.3

化简 $\frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将 $- 0.24512233$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{1}{0.75487766}$

解题步骤 1.3.2.3.2

用 $1$ 除以 $0.75487766$ 。

$y = 1.32471795$

解题步骤 1.4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(- 0.24512233, 1.32471795)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} d x - \int_{- 0.24512233}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 3

用积分求 $- 0.24512233$ 和 $2$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} - (\frac{1}{x + 1}) d x$

解题步骤 3.2

要将 $\sqrt{x + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\sqrt{x + 2}$ 和 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1} d x$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} \cdot 1 - 1}{x + 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $\sqrt{x + 2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} d x$

解题步骤 4

微积分学 示例

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