微积分学示例

$(y + 3) y^{2}$

解题步骤 1

将 $(y + 3) y^{2}$ 书写为一个函数。

$f (y) = (y + 3) y^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (y)$ 的不定积分求函数 $F (y)$ 。

$F (y) = \int f (y) d y$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (y) = \int (y + 3) y^{2} d y$

解题步骤 4

展开 $(y + 3) y^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int y \cdot y^{2} + 3 y^{2} d y$

解题步骤 4.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y^{1} y^{2} + 3 y^{2} d y$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{1 + 2} + 3 y^{2} d y$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int y^{3} + 3 y^{2} d y$

$\int y^{3} + 3 y^{2} d y$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y$

解题步骤 6

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int 3 y^{2} d y$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + C + 3 \int y^{2} d y$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

解题步骤 9.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

解题步骤 9.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} y^{4} + 1 y^{3} + C$

$\frac{1}{4} y^{4} + 1 y^{3} + C$

解题步骤 9.2.3

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + y^{3} + C$

$\frac{1}{4} y^{4} + y^{3} + C$

$\frac{1}{4} y^{4} + y^{3} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (y) = (y + 3) y^{2}$ 的不定积分。

$F (y) =$ $\frac{1}{4} y^{4} + y^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$