微积分学示例

$\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\int e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 5

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 5.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u} + C$

解题步骤 7

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\tan (x)} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $e^{\tan (x)} + C$

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