微积分学示例

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ 重写为 $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ 。

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.3.3

约去公因数。

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.3.4

重写表达式。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.4.1

将 $- \frac{1}{2 x}$ 中前置负号移到分子中。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.4.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.4.3

约去公因数。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.4.4

重写表达式。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

解题步骤 4.3.1.6

乘以 $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ 。

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解题步骤 4.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 4.3.1.6.2

将 $\frac{1}{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 4.3.1.6.3

将 $\frac{1}{2 x}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

解题步骤 4.3.1.6.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

解题步骤 4.3.1.6.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

解题步骤 4.3.1.6.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

解题步骤 4.3.1.6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

解题步骤 4.3.1.6.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

从 $- \frac{1}{2}$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 4.4.3

重写表达式。

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 9.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

解题步骤 11.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

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