微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x^{4})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{4}} x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{4}{x^{4}}$ 和 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.6

约去 $x^{3}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{3 x^{2}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{4}{x}$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x (3 x^{2})}$

解题步骤 5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 (x^{1} x^{2})}$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{1 + 2}}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{3}}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot 0$

解题步骤 8

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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