微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 1.3

因为函数 $e^{\frac{1}{2} x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $7$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 1.3.1

思考去掉常数倍数 $7$ 后的极限。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{2} x}}$

解题步骤 1.3.2

因为指数 $\frac{1}{2} x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{\frac{1}{2} x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 e^{\frac{x}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}$

解题步骤 3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}$

解题步骤 3.4.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}$

解题步骤 3.5

去掉圆括号。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

解题步骤 3.6

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $7$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{2} e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

解题步骤 3.10

将 $\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{2}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{7 e^{\frac{x}{2}}}$ 。

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 2}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{6}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 5.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{6}{7 e^{\frac{x}{2}}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 6}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{6}{7}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

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解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{6}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 7.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 7.1.3

因为指数 $\frac{x}{2}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{\frac{x}{2}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 7.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 7.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

解题步骤 7.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

解题步骤 7.3.3.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

解题步骤 7.3.4

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 7.3.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 7.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

解题步骤 7.3.7

将 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 7.5

合并因数。

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解题步骤 7.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 2}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 7.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{4}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 7.5.3

组合 $x$ 和 $\frac{4}{e^{\frac{x}{2}}}$ 。

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 4}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 8

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 9

运用洛必达法则。

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解题步骤 9.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 9.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

因为指数 $\frac{x}{2}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{\frac{x}{2}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 9.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 9.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 9.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 9.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 9.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

解题步骤 9.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 9.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

解题步骤 9.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

解题步骤 9.3.3.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

解题步骤 9.3.4

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 9.3.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 9.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

解题步骤 9.3.7

将 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

解题步骤 9.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 9.5

将 $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6}{7} \cdot 4 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}}}$

解题步骤 11

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{6}{7} \cdot 4 \cdot 2 \cdot 0$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

乘以 $\frac{6}{7} \cdot 4$ 。

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解题步骤 12.1.1

组合 $\frac{6}{7}$ 和 $4$ 。

$\frac{6 \cdot 4}{7} \cdot 2 \cdot 0$

解题步骤 12.1.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24}{7} \cdot 2 \cdot 0$

解题步骤 12.2

乘以 $\frac{24}{7} \cdot 2$ 。

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解题步骤 12.2.1

组合 $\frac{24}{7}$ 和 $2$ 。

$\frac{24 \cdot 2}{7} \cdot 0$

解题步骤 12.2.2

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$\frac{48}{7} \cdot 0$

解题步骤 12.3

将 $\frac{48}{7}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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