微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{9 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

解题步骤 1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{9 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{9 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

解题步骤 1.3.1.2

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 1.3.3.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

解题步骤 3.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

解题步骤 3.5.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

解题步骤 3.5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

解题步骤 3.6

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

解题步骤 3.7

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

解题步骤 3.8

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

解题步骤 3.9

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

解题步骤 3.10

去掉圆括号。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.11.1.1

将 $\cos (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

解题步骤 3.11.1.2

将 $\cos (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

解题步骤 3.11.1.3

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{1 \tan (x)}$

解题步骤 3.11.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\tan (x)}$

解题步骤 3.11.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} 18 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

组合 $18$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} x \frac{18 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.2

组合 $x$ 和 $\frac{18 \cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x (18 \cos (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 6

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$18 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

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解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$18 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 7.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 7.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$18 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 7.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$18 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 7.1.2.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1.2.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 7.1.2.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 7.1.2.4

化简答案。

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解题步骤 7.1.2.4.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$18 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 7.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$18 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 7.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 7.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$18 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 7.1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$18 (\frac{0}{0})$

解题步骤 7.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$18 (\frac{0}{0})$

解题步骤 7.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$18 (\frac{0}{0})$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$18 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 7.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 7.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 7.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 7.3.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 7.3.6

重新排序项。

$18 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 7.3.7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$18 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 8.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 8.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 8.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 8.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 8.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$18 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 10.1.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$18 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 10.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$18 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

解题步骤 10.1.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$18 \frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 10.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$18 (\frac{1}{1})$

解题步骤 10.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

约去公因数。

$18 (\frac{1}{1})$

解题步骤 10.3.2

重写表达式。

$18 \cdot 1$

解题步骤 10.4

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$18$

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