微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ 无定义。

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时， $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时， $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 是一条垂直渐近线。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时， $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时， $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 是一条垂直渐近线。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 5.1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2

计算极限值。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.2.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4

计算极限值。

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解题步骤 5.4.1

将极限移入根号内。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

解题步骤 5.6

化简答案。

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解题步骤 5.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

解题步骤 5.6.1.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

解题步骤 5.6.2

化简分母。

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解题步骤 5.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

解题步骤 5.6.2.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.6.3

将 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.6.4.1

将 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.6.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.6.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.6.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.6.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.6.4.6.5

计算指数。

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 6.1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2

计算极限值。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.2.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4

计算极限值。

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解题步骤 6.4.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4.2

将极限移入根号内。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

解题步骤 6.6

化简答案。

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解题步骤 6.6.1

化简分子。

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解题步骤 6.6.1.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

解题步骤 6.6.1.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

解题步骤 6.6.2

化简分母。

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解题步骤 6.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

解题步骤 6.6.2.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

解题步骤 6.6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.6.4

将 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 6.6.5

合并和化简分母。

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解题步骤 6.6.5.1

将 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.6.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.6.5.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 6.6.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.6.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.6.5.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.6.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.6.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.6.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.6.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.5.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.6.5.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 6.6.5.6.5

计算指数。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7

列出水平渐近线：

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

水平渐近线： $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

无法求斜渐近线

解题步骤 10

微积分学 示例

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