微积分学示例

$f (x) = 7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{20}$ 且 $g (x) = x^{2} - 10 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 10 x$ 。

$7 (\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 20$ 。

$7 (20 u^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} - 10 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (20 {(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $20$ 乘以 $7$ 。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.6

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $140$ 对于 $x$ 是常数，所以 $140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$ 对 $x$ 的导数是 $140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$ 。

$140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ 且 $g (x) = 2 x - 10$ 。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [2 x - 10] + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $2 x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + 0) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \cdot 2 + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.3.6.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} - 10 x)}^{19}$ 的左侧。

$140 (2 \cdot {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{19}$ 且 $g (x) = x^{2} - 10 x$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 10 x$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (\frac{d}{d u} [u^{19}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 19$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 u^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} - 10 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $19$ 移到 $2 x - 10$ 的左侧。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 \cdot (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x^{2} - 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

解题步骤 2.5.4

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \cdot 1))$

解题步骤 2.5.6

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10))$

解题步骤 2.6

对 $2 x - 10$ 进行 $1$ 次方运算。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} (2 x - 10)) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

解题步骤 2.7

对 $2 x - 10$ 进行 $1$ 次方运算。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} {(2 x - 10)}^{1}) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{1 + 1} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

解题步骤 2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19}) + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $140$ 。

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

解题步骤 2.10.3

将 $19$ 乘以 $140$ 。

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 ({(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

解题步骤 2.10.4

从 $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ 中分解出因数 $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ 。

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解题步骤 2.10.4.1

从 $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ 中分解出因数 $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ 。

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$

解题步骤 2.10.4.2

从 $2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ 中分解出因数 $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ 。

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$

解题步骤 2.10.4.3

从 $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$ 中分解出因数 $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ 。

$f'' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$ 。

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$

微积分学 示例

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