微积分学示例

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = 0$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 时， $V = π \int_{- 4}^{4} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ 重写为 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 重写成 ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$V = {({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$V = (4 + x) (4 - x)$

解题步骤 2.1.5

化简。

$V = (4 + x) (4 - x)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = 4 (4 - x) + x (4 - x)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$V = 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$V = 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

解题步骤 2.3.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$V = 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

解题步骤 2.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$V = 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

解题步骤 2.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$V = 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = 16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$V = 16 + 0 - x^{2}$

解题步骤 2.3.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$V = 16 - x^{2}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $16 x$ 在 $4$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$V = π ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$V = π (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$V = π (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

解题步骤 7.2.3.2

将 $- 16$ 乘以 $- 4$ 。

$V = π (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

解题步骤 7.2.3.3

将 $64$ 和 $64$ 相加。

$V = π (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

解题步骤 7.2.3.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

解题步骤 7.2.3.5

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

解题步骤 7.2.3.6

将负号移到分数的前面。

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

解题步骤 7.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

解题步骤 7.2.3.8

将 $\frac{64}{3}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

解题步骤 7.2.3.9

在公分母上合并分子。

$V = π (128 - \frac{64 + 64}{3})$

解题步骤 7.2.3.10

将 $64$ 和 $64$ 相加。

$V = π (128 - \frac{128}{3})$

解题步骤 7.2.3.11

要将 $128$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

解题步骤 7.2.3.12

组合 $128$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

解题步骤 7.2.3.13

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

解题步骤 7.2.3.14

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.14.1

将 $128$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{384 - 128}{3})$

解题步骤 7.2.3.14.2

从 $384$ 中减去 $128$ 。

$V = π (\frac{256}{3})$

解题步骤 7.2.3.15

组合 $π$ 和 $\frac{256}{3}$ 。

$V = \frac{π \cdot 256}{3}$

解题步骤 7.2.3.16

将 $256$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{256 π}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{256 π}{3}$

小数形式：

$V = 268.08257310 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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