微积分学示例

$f (x, y) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

解题步骤 1

将 $f (x, y) - 2 x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} + 2 x - 10 y = 0$ 书写为一个函数。

$f (x) = f (x, y) - 2 x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} + 2 x - 10 y$

解题步骤 2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $2 x^{2}$ 。

$f (x, y) - 2 x^{2} = 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $3 x y$ 。

$f (x, y) - 2 x^{2} - 3 x y = 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $4 y^{2}$ 。

$f (x, y) - 2 x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} = - 2 x + 10 y$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$f (x, y) - 2 x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} + 2 x = 10 y$

解题步骤 2.5

从等式两边同时减去 $10 y$ 。

$f (x, y) - 2 x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} + 2 x - 10 y = 0$

解题步骤 3

求函数的一阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $f (x, y) - 2 x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} + 2 x - 10 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.2

将 $f$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.5

因为 $- 4 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.6

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 3.7

因为 $- 10 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 + 0$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

合并项。

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解题步骤 3.8.1.1

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 2 + 0$

解题步骤 3.8.1.2

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 2$

解题步骤 3.8.2

重新排序项。

$- 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

解题步骤 4

求函数的二阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $- 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (- 3 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.3

因为 $- 3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ 。

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解题步骤 4.4.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1.1

约去公因数。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4.1.2

重写表达式。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.4.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.1.1

从 $f x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4.3.1.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4.3.1.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4.3.2

乘以 $\frac{1}{x} (f y)$ 。

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解题步骤 4.4.3.2.1

组合 $f$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.4.3.2.2

组合 $\frac{f}{x}$ 和 $y$ 。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 4.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.6

合并项。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.6.2

将 $- 4 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

解题步骤 5

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

解题步骤 6

求一阶导数。

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解题步骤 6.1

求一阶导数。

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解题步骤 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.2

将 $f$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $- 3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.5

因为 $- 4 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.6

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 6.1.6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10 y]$

解题步骤 6.1.7

因为 $- 10 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 0 + 2 + 0$

解题步骤 6.1.8

化简。

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解题步骤 6.1.8.1

合并项。

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解题步骤 6.1.8.1.1

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 2 + 0$

解题步骤 6.1.8.1.2

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 4 x - 3 y + 2$

解题步骤 6.1.8.2

重新排序项。

$f' (x) = - 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

解题步骤 6.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ 。

$- 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$

解题步骤 7

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x - 3 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

解题步骤 8

求使导数无意义的值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{d}{d x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$d x = 0$

解题步骤 8.2

将 $d x = 0$ 中的每一项除以 $d$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $d x = 0$ 中的每一项都除以 $d$ 。

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{d}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

用 $0$ 除以 $d$ 。

$x = 0$

解题步骤 9

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 10

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

将 $d$ 乘以 $0$ 。

$- 4 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

解题步骤 11.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 12

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 13

微积分学 示例

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