微积分学示例

$y = {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.6

合并分数。

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解题步骤 1.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.7

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

解题步骤 1.9

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

解题步骤 1.10

合并分数。

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解题步骤 1.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

解题步骤 1.10.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 1.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 1.10.4

组合 $\frac{4}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.3.3

将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9

合并分数。

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解题步骤 2.9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9.4

组合 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.12

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13

合并分数。

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解题步骤 2.13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13.4

组合 $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.19

要将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.20

组合 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22

通过指数相加将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.22.1

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.23

化简 ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.24

将 $3$ 移到 $x^{2} - 25$ 的左侧。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.25

将 $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.26

将 $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.27

通过指数相加将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.27.1

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.27.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.27.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 2.27.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.28

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.29

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30

化简。

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解题步骤 2.30.1

运用分配律。

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.2

运用分配律。

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3

化简分子。

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解题步骤 2.30.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.30.3.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.1.2

乘以 $4 (3 \cdot - 25)$ 。

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解题步骤 2.30.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 75 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 75$ 。

$\frac{12 x^{2} - 300 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{2} - 300 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.2

从 $12 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} - 300}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.4

从 $4 x^{2} - 300$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.30.4.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2}) - 300}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.4.2

从 $- 300$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 75}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.4.3

从 $4 x^{2} + 4 \cdot - 75$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 75)}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{4}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 (x^{2} - 75)}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 75}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}]$ 。

$\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 75}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 75$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $\frac{4}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 75$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 75]) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 75$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x + 0) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.8

化简分子。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.8.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{4}{3}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.12

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.13

合并分数。

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解题步骤 3.13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.13.2

组合 $2$ 和 $\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{2 (4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}{3} x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.13.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.13.4

组合 $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.13.5

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ 。

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14

化简。

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解题步骤 3.14.1

运用分配律。

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + (- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.2

运用分配律。

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x) + 4 ((- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3

化简分子。

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解题步骤 3.14.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x) + 4 ((- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 75$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 ((- x^{2} + 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.3

运用分配律。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- x^{2} \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.4

乘以 $- x^{2} \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}$ 。

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解题步骤 3.14.3.4.1

组合 $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{2}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.14.3.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (x^{2} x)}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.14.3.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (x^{2} x^{1})}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{2 + 1}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.14.3.5.1

从 $75$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 3 (25) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.5.2

约去公因数。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 3 \cdot 25 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.5.3

重写表达式。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 25 (8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x))}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.6

将 $8$ 乘以 $25$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 200 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x))}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.7

要将 $200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot \frac{3}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.8

组合 $200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + \frac{200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.10

化简分子。

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解题步骤 3.14.3.10.1

从 $- 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

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解题步骤 3.14.3.10.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.14.3.10.1.1.1

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.10.1.1.2

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 x \cdot 3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.10.1.1.3

移动 $x$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.10.1.2

从 $- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.10.1.3

从 $200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (25 \cdot 3)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.10.1.4

从 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (25 \cdot 3)$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 25 \cdot 3)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.10.2

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.11

乘以 $4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ 。

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解题步骤 3.14.3.11.1

组合 $4$ 和 $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + \frac{4 (8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.11.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + \frac{32 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.12

要将 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot \frac{3}{3} + \frac{32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.13

组合 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3}{3} + \frac{32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15

以因式分解的形式重写 $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ 。

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解题步骤 3.14.3.15.1

从 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

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解题步骤 3.14.3.15.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.14.3.15.1.1.1

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{\frac{8 x \cdot 3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.1.1.2

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.1.1.3

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.1.2

从 $8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.1.3

从 $32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.1.4

从 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (4 (- x^{2} + 75))$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.2

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{1} + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.3

化简。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 (x^{2} - 25) + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.4

运用分配律。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.5

将 $3$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.6

运用分配律。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 - 4 x^{2} + 4 \cdot 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.8

将 $4$ 乘以 $75$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 - 4 x^{2} + 300)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.9

从 $3 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} - 75 + 300)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.10

将 $- 75$ 和 $300$ 相加。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 225)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.11

以因式分解的形式重写 $- x^{2} + 225$ 。

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解题步骤 3.14.3.15.11.1

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 15^{2})}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.11.2

将 $- x^{2}$ 和 $15^{2}$ 重新排序。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15^{2} - x^{2})}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.3.15.11.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 15$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x ((15 + x) (15 - x))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.4

合并项。

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解题步骤 3.14.4.1

将 $\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3} \cdot \frac{1}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.2

将 $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}$ 乘以 $\frac{1}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3 (9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}})}$

解题步骤 3.14.4.3

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.5

通过指数相加将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.14.4.5.1

移动 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 ({(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}})}$

解题步骤 3.14.4.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1 + 8}{3}}}$

解题步骤 3.14.4.5.4

将 $- 1$ 和 $8$ 相加。

$f''' (x) = \frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{7}{3}}}$

微积分学 示例

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