微积分学示例

$f (x) = \frac{(1 - \sin^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 3

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\cot^{2} (x)$ 。

$\int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (x)$ 的形式。

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 8

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$- x + C - \cot (x) + C$

解题步骤 9

化简。

$- x - \cot (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$

微积分学 示例