微积分学示例

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = 5 \sqrt{x}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[4, 9]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = 5 \sqrt{x}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[4, 9]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.1.6

在公分母上合并分子。

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.1.7

化简分子。

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解题步骤 3.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 3.1.8

将负号移到分数的前面。

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.1.10

组合 $5$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

判断导数在 $(4, 9)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $(4, 9)$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{5}{2 \sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 4.1.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{5}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 4.1.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 4.1.3

将 $\frac{5}{2 \sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 4.1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1

化简 ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1.1

对 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.4

化简。

$4 x = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x = 0$

解题步骤 4.1.4.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.1.4.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.1.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.4.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.1.4.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.1.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.4.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(4, 9)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(4, 9)$ 上可微，因为其导数在 $(4, 9)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[4, 9]$ 上连续，并且在 $(4, 9)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[4, 9]$ 上连续，在 $(4, 9)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[4, 9]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

解题步骤 7.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (4) = 5 \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 7.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (4) = 5 \cdot 2$

解题步骤 7.2.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f (4) = 10$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 8

在区间 $[4, 9]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

去掉圆括号。

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

解题步骤 8.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (9) = 5 \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 8.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (9) = 5 \cdot 3$

解题步骤 8.2.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f (9) = 15$

解题步骤 8.2.5

最终答案为 $15$ 。

$15$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (9) + f (4))}{- (9 + 4)}$ 。

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解题步骤 9.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{15 - 10}{(9) - (4)}$

解题步骤 9.1.2

从 $15$ 中减去 $10$ 。

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{(9) - (4)}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{9 - 4}$

解题步骤 9.1.4

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{5}$

解题步骤 9.1.5

用 $5$ 除以 $5$ 。

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$

解题步骤 9.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 9.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 9.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.3

将 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ 中的每一项乘以 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ 中的每一项乘以 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

约去公因数。

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.3

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.3.2

重写表达式。

$5 = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$5 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.4

求解方程。

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解题步骤 9.4.1

将方程重写为 $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} = 5$

解题步骤 9.4.2

将 $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.4.2.1

将 $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 9.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 9.4.2.2.2

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}$

解题步骤 9.4.3

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 9.4.4

化简指数。

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解题步骤 9.4.4.1

化简左边。

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解题步骤 9.4.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.4.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 9.4.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 9.4.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 9.4.4.1.1.2

化简。

$x = {(\frac{5}{2})}^{2}$

解题步骤 9.4.4.2

化简右边。

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解题步骤 9.4.4.2.1

化简 ${(\frac{5}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.4.2.1.1

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$x = \frac{5^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 9.4.4.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{25}{2^{2}}$

解题步骤 9.4.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{25}{4}$

解题步骤 10

点 $x = \frac{25}{4}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 4$ 和 $b = 9$ 的直线平行。

解题步骤 11

微积分学 示例

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