微积分学示例

$y = (4 x^{2} + 9) (2 x - 3 + \frac{7}{x})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x^{2} + 9$ 且 $g (x) = 2 x - 3 + \frac{7}{x}$ 。

$(4 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [2 x - 3 + \frac{7}{x}] + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 2

根据加法法则， $2 x - 3 + \frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ 。

$(4 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 (- x^{- 2})) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 x^{- 2}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{2} + 9) (2 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 6.2.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{- 7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$(4 x^{2} + 9) (2 - \frac{7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 7

根据加法法则， $4 x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 8

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 8.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 8.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 9

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + 0)$

解题步骤 9.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 2 x (8 x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

解题步骤 10.2

合并项。

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解题步骤 10.2.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x \cdot x - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

解题步骤 10.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

解题步骤 10.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x^{1}) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

解题步骤 10.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{1 + 1} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

解题步骤 10.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

解题步骤 10.2.6

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{7}{x} (8 x)$

解题步骤 10.2.7

组合 $8$ 和 $\frac{7}{x}$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{8 \cdot 7}{x} x$

解题步骤 10.2.8

将 $8$ 乘以 $7$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56}{x} x$

解题步骤 10.2.9

组合 $\frac{56}{x}$ 和 $x$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

解题步骤 10.2.10

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.10.1

约去公因数。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

解题步骤 10.2.10.2

用 $56$ 除以 $1$ 。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + 56$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$16 x^{2} + (- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

解题步骤 10.4

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9)$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

运用分配律。

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2} + 9) + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.1.2

运用分配律。

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.1.3

运用分配律。

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.2.1.1.1

将 $- \frac{7}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.1.2

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.1.3

约去公因数。

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.1.4

重写表达式。

$16 x^{2} - 7 \cdot 4 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$16 x^{2} - 28 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.3

乘以 $- \frac{7}{x^{2}} \cdot 9$ 。

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解题步骤 10.4.2.1.3.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$16 x^{2} - 28 - 9 \frac{7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.3.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{7}{x^{2}}$ 。

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 9 \cdot 7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.3.3

将 $- 9$ 乘以 $7$ 。

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.1.6

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 18 - 24 x + 56$

解题步骤 10.4.2.2

将 $- 28$ 和 $18$ 相加。

$16 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} - 10 - 24 x + 56$

解题步骤 10.5

将 $16 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 10 - 24 x + 56$

解题步骤 10.6

将 $- 10$ 和 $56$ 相加。

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 24 x + 46$

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