微积分学示例

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 $3$ 和 $8$ 相加。

$2 i^{2} - i + 11$

解题步骤 1.2

重写该总和。

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

解题步骤 2

分解总和使 $i$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

解题步骤 3

计算 $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ 。

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解题步骤 3.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

解题步骤 3.2

计算 $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $24$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 3.2.3.1.2.1

将 $24$ 乘以 $25$ 。

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $48$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

解题步骤 3.2.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将 $600$ 乘以 $49$ 。

$2 (\frac{29400}{6})$

解题步骤 3.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

解题步骤 3.2.3.2.2.2

约去公因数。

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{29400}{3}$

解题步骤 3.2.3.2.3

用 $29400$ 除以 $3$ 。

$9800$

解题步骤 3.3

计算 $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ 。

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解题步骤 3.3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

解题步骤 3.3.3

化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $24$ 和 $1$ 相加。

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

将 $24$ 乘以 $25$ 。

$- 1 (\frac{600}{2})$

解题步骤 3.3.3.3

用 $600$ 除以 $2$ 。

$- 1 \cdot 300$

解题步骤 3.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $300$ 。

$- 300$

解题步骤 3.4

计算 $\sum_{k = 1}^{24} 11$ 。

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解题步骤 3.4.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.4.2

将值代入公式中。

$(11) (24)$

解题步骤 3.4.3

将 $11$ 乘以 $24$ 。

$264$

解题步骤 3.5

将求和的总和相加。

$9800 - 300 + 264$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

从 $9800$ 中减去 $300$ 。

$9500 + 264$

解题步骤 3.6.2

将 $9500$ 和 $264$ 相加。

$9764$

解题步骤 4

计算 $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ 。

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解题步骤 4.1

展开 $i$ 每个取值的序列。

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.5

将 $1$ 和 $11$ 相加。

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.9

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.10

将 $6$ 和 $11$ 相加。

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.11

将 $12$ 和 $17$ 相加。

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.12

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.13

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.14

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.15

从 $18$ 中减去 $3$ 。

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.16

将 $15$ 和 $11$ 相加。

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.17

将 $29$ 和 $26$ 相加。

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.18

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.19

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

解题步骤 4.2.20

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$55 + 32 - 4 + 11$

解题步骤 4.2.21

从 $32$ 中减去 $4$ 。

$55 + 28 + 11$

解题步骤 4.2.22

将 $28$ 和 $11$ 相加。

$55 + 39$

解题步骤 4.2.23

将 $55$ 和 $39$ 相加。

$94$

解题步骤 5

用求得的值替换总和。

$9764 - 94$

解题步骤 6

从 $9764$ 中减去 $94$ 。

$9670$

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