微积分学示例

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{5} d t$

解题步骤 1

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{5} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{5})$

解题步骤 9

将 ${\sqrt{x}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{x^{5}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{5}})$

解题步骤 10

组合 $18$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{5}}$

解题步骤 11

组合 $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sqrt{x^{5}}$ 。

$\frac{18 \sqrt{x^{5}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

从 $18 \sqrt{x^{5}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{5}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{5}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{5}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{9 \sqrt{x^{5}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

将 $\frac{9 \sqrt{x^{5}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 $\frac{9 (x^{2} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 14.1

将 $x^{5}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 14.1.1

因式分解出 $x^{4}$ 。

$\frac{9 \sqrt{x^{4} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{9 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2

从根式下提出各项。

$\frac{9 (x^{2} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 16.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{2 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.5

化简分子。

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解题步骤 16.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 x^{\frac{4 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$9 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 18

通过指数相加将 $x^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 18.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}}$

解题步骤 18.3

在公分母上合并分子。

$9 x^{\frac{- 1 + 5}{2}}$

解题步骤 18.4

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$9 x^{\frac{4}{2}}$

解题步骤 18.5

用 $4$ 除以 $2$ 。

$9 x^{2}$

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