微积分学示例

$f (x) = \cos (x)$ , $a = \frac{7 π}{2}$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = \frac{7 π}{2}$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (\frac{7 π}{2}) + f' (\frac{7 π}{2}) (x - \frac{7 π}{2})$

解题步骤 3

计算 $f (\frac{7 π}{2})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{2})$

解题步骤 3.2

化简 $\cos (\frac{7 π}{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$\cos (\frac{7 π}{2})$

解题步骤 3.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 3.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.2.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0$

$0$

$0$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $\frac{7 π}{2}$ 处的值。

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解题步骤 4.1

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $\frac{7 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$- \sin (\frac{7 π}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 4.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.3.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.3.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- - 1$

解题步骤 4.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1$

$1$

$1$

$1$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = 0 + 1 (x - \frac{7 π}{2})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 和 $1 (x - \frac{7 π}{2})$ 相加。

$L (x) = 1 (x - \frac{7 π}{2})$

解题步骤 6.2

将 $x - \frac{7 π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$L (x) = x - \frac{7 π}{2}$

$L (x) = x - \frac{7 π}{2}$

解题步骤 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$