微积分学示例

${(\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}] + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 1 + \sin (x)$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot 0)$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 乘以 $0$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 0)$

解题步骤 13.2

将 $- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2

化简分子。

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解题步骤 14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.1.1

将 $- \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.1.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 14.2.1.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.1.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.2

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.3

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.4

从 $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.5

使用勾股恒等式。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.3

合并项。

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解题步骤 14.3.1

约去 $- \sin (x) - 1$ 和 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.3.1.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.3.1.3

从 $- (\sin (x)) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.3.1.4

将 $- (\sin (x) + 1)$ 重写为 $- 1 (\sin (x) + 1)$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.3.1.5

重新排序项。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.3.1.6

从 $- 1 (1 + \sin (x))$ 中分解出因数 $1 + \sin (x)$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

解题步骤 14.3.1.7

约去公因数。

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解题步骤 14.3.1.7.1

从 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 中分解出因数 $1 + \sin (x)$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

解题步骤 14.3.1.7.2

约去公因数。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

解题步骤 14.3.1.7.3

重写表达式。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1}{1 + \sin (x)})$

解题步骤 14.3.2

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- - \frac{1}{1 + \sin (x)})$

解题步骤 14.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (1 \frac{1}{1 + \sin (x)})$

解题步骤 14.3.4

将 $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 15

合并项。

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解题步骤 15.1

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}) \frac{1}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 15.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 15.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 15.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 15.5

将 $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 乘以 $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$- \frac{2 \cos (x)}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 15.6

对 $1 + \sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x))}$

解题步骤 15.7

对 $1 + \sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1}}$

解题步骤 15.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1 + 1}}$

解题步骤 15.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

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