微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

解题步骤 1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

解题步骤 1.3

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 2$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

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解题步骤 1.3.1

思考去掉常数倍数 $- 2$ 后的极限。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.3

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 2$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.3.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

解题步骤 3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

解题步骤 5.2

因为项 $\frac{1}{- 2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x (e^{x})}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 7.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$0$

微积分学 示例

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