微积分学示例

$f (x) = 10 e^{9 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$90 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$90 e^{9 x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.4

将 $90$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 90 e^{9 x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $90$ 对于 $x$ 是常数，所以 $90 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $90 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$90 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$90 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$90 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$90 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$90 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.2

将 $9$ 乘以 $90$ 。

$810 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$810 e^{9 x} \cdot 1$

解题步骤 2.3.4

将 $810$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 810 e^{9 x}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $810$ 对于 $x$ 是常数，所以 $810 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $810 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$810 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$810 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$810 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$810 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$810 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

将 $9$ 乘以 $810$ 。

$7290 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7290 e^{9 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3.4

将 $7290$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 7290 e^{9 x}$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $7290 e^{9 x}$ 。

$7290 e^{9 x}$

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